経営統計学基礎B第１１回

経営統計学基礎B

本日の授業内容

１．統計的推測

統計的推測とは、数の非常に大きい（理想的には無限大）母集団から有限個の標本を無作為抽出（ランダム・サンプリング）し。標本の情報から母集団の統計的性質（平均、分散など）を推測すること。例えば、全国約３０００万世帯から８０００世帯を抽出して家計調査を行い、そのデータから全国平均などを算出すること。

統計的推測には、点推定、区間推定、仮説検定がある。

例えば、壺の中にある割合ｐで赤玉と白玉が入っているものとする。このとき１０回の復元抽出の結果 $x_1,x_2,...,x_{10}$ から（ここで、 $x_i=0$ （白） or １（赤））壺の中身（赤玉の割合ｐ）を推測する問題を考える。

- 点推定：ｐの推定値を例えば、 $x_1,x_2,...,x_{10}$ の平均値とする。

- 区間推定：例えば95%以上の確率で $L \le p \le U$ であるような $L,U$ を $x_1,x_2,...,x_{10}$ から求める。

- 仮説検定：もっともらしい仮説（帰無仮説）（例えば $p=0.5$ ）とそれに対する対立仮説（例えば $p \neq 0.5$ ）を立て、どちらか一方を選択する。

２．点推定

点推定とは、母集団の母数（母平均、母分散、母比率など）の値を標本の集計から推定すること。

正規分布に関する推定

母平均 $\mu$ の推定量を標本平均 $\mu$ とする。
母分散 $\sigma^2$ の推定量を標本の不偏標本分散
$S^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2}{n-1}$ とする。

二項分布に関する推定

赤玉の出た相対度数を母比率（成功確率）ｐの推定量とする。

区間 $[a,b]$ の一様分布に関する推定

最尤法による推定量（最尤推定量）
$a=min(x_1,x_2,...,x_n)$
$b=max(x_1,x_2,...,x_n)$
と、モーメント法による推定量
$a=\mu-\sqrt{3S^2}$
$b=\mu+\sqrt{3S^2}$
がある。

３．課題7

課題7.xlsを教材フォルダーからコピーしてsheet1、sheet2、sheet3に書かれている標本のデータから母数を点推定せよ。

以上。

2008-12-17

積分学第１１回

積分学

本日の授業内容

6.6 重積分の変数変換
6.6.1 １次変換による変数変換（続き）

問題6.6.2(4)を解説。残りを各自で。

6.6.2 一般の変数変換

座標系のとり方は、極座標や円柱座標以外にも、放物線座標、楕円座標、双曲線座標など問題に応じて工夫されている。これらを総称して、曲線座標という。

極座標系では面積要素は簡単に求められたが、一般の曲線座標ではどのようにして求めればよいだろうか。

それに対する一般的な解が、ヤコビアン $J$ である。

2次元曲線座標 $(u,v)$ （ $x=x(u,v)$ 、 $y=y(u,v)$ ）では、
面積要素 $=|J|dudv$ 、
$J=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}$ 。